P4047

[JSOI2010] 部落划分

题目描述

聪聪研究发现，荒岛野人总是过着群居的生活，但是，并不是整个荒岛上的所有野人都属于同一个部落，野人们总是拉帮结派形成属于自己的部落，不同的部落之间则经常发生争斗。只是，这一切都成为谜团了——聪聪根本就不知道部落究竟是如何分布的。

不过好消息是，聪聪得到了一份荒岛的地图。地图上标注了 $n$ 个野人居住的地点（可以看作是平面上的坐标）。我们知道，同一个部落的野人总是生活在附近。我们把两个部落的距离，定义为部落中距离最近的那两个居住点的距离。聪聪还获得了一个有意义的信息——这些野人总共被分为了 $k$ 个部落！这真是个好消息。聪聪希望从这些信息里挖掘出所有部落的详细信息。他正在尝试这样一种算法：

对于任意一种部落划分的方法，都能够求出两个部落之间的距离，聪聪希望求出一种部落划分的方法，使靠得最近的两个部落尽可能远离。

例如，下面的左图表示了一个好的划分，而右图则不是。请你编程帮助聪聪解决这个难题。

输入格式

输入文件第一行包含两个整数 $n$ 和 $k$ ，分别代表了野人居住点的数量和部落的数量。

接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $x$ ， $y$ ，描述了一个居住点的坐标。

输出格式

输出一行一个实数，为最优划分时，最近的两个部落的距离，精确到小数点后两位。

输入输出样例

输入样例 #1

输出样例 #1

1.00

输入样例 #2

输出样例 #2

2.00

说明/提示

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，保证 $2 \leq k \leq n \leq 10^3$ ， $0 \leq x, y \leq 10^4$ 。

题解

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YuyiLv.6👑 站长管理员

P4047 [JSOI2010] 部落划分题解 Author: Yuyi 题意分析题目给定 $N$ 个野人的居住点，要求我们将这 $N$ 个点划分成 $K$ 个部落（连通块）。我们的目标是：让这 $K$ 个部落之间，靠得最近的两个部落的距离尽可能远。输出这个最近的距离。这其实是聚类算法里最经典的最短距离聚类（Single linkage clu…

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2026年8月9日 22:36

P4047 [JSOI2010] 部落划分题解

Author: Yuyi

题意分析

题目给定 $N$ 个野人的居住点，要求我们将这 $N$ 个点划分成 $K$ 个部落（连通块）。我们的目标是：让这 $K$ 个部落之间，靠得最近的两个部落的距离尽可能远。输出这个最近的距离。

这其实是聚类算法里最经典的最短距离聚类（Single-linkage clustering），而在算法竞赛里，它就是 Kruskal 最小生成树的绝佳舞台！我们可以这样想：一开始有 $N$ 个点，也就是 $N$ 个独立的部落。为了让剩下的部落之间距离尽可能大，我们就得把那些靠得最近的点强行合并成一个部落。所以，我们只需按两点间的距离从小到大贪心连边。每成功连一条有效边，部落总数就减少 $1$ 。当我们连了 $N-K$ 条边时，全图恰好就剩下了 $K$ 个部落。这个时候，图里还剩下许多没用的边。如果我们顺着排序的列表继续往下找，找到的第一条能连接两个不同部落的边，就是这 $K$ 个部落之间最短的距离！

正解推导过程

构建完全图：枚举所有的点对 $(i, j)$ ，计算欧几里得距离，存入边集。由于 $N \le 1000$ ，边数约为 $\frac{N(N-1)}{2} \approx 5 \times 10^5$ 条。
Kruskal 排序：将这 $50$ 万条边按权值从小到大排序。
并查集连边与截获：
- 遍历排序后的边，遇到两个端点不在同一集合的，合并之，并且记录合并次数 cnt++。
- 当 cnt 刚好等于 $N-K$ 时，说明 $K$ 个部落已经成型。
- 这时候我们不退出，而是让循环继续往下找。碰到的下一条两个端点依然不在同一集合里的边，就是我们要找的两个部落之间的最短距离！找到后记录为 ans 并立刻 break。

正解代码及分析

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-9
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define lowbit(a) (a)&(-a)
using namespace std;
const int maxn = 500005; // 完全图的最大边数约为 50万
const int mo = 998244353;
const double pi = acos(-1.0);
template <typename T>
inline void read(T &X)
{
    X = 0;int w = 0; char ch = 0;
    while(!isdigit(ch)) {w |= ch == '-' ;ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)) X = X * 10 + (ch^48),ch = getchar();
    if(w) X = -X;
}
int n,k;
int x[maxn],y[maxn];
struct Edge
{
    int u,v;
    double w;
}e[maxn];
bool cmp(Edge A,Edge B)
{
    return A.w < B.w;
}
int fa[maxn];
int find(int u)
{
    if(u == fa[u]) return u;
    return fa[u] = find(fa[u]);
}
void solve()
{
    read(n),read(k);
    rep(i,1,n) read(x[i]),read(y[i]);
    int tot = 0;
    rep(i,1,n)
    {
        rep(j,i+1,n)
        {
            tot++;
            e[tot].u = i;
            e[tot].v = j;
            e[tot].w = sqrt((double)(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j]) + (double)(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
        }
    }
    rep(i,1,n) fa[i] = i;
    sort(e+1,e+1+tot,cmp);
    int cnt = 0;
    double ans = 0;
    rep(i,1,tot)
    {
        int fu = find(e[i].u);
        int fv = find(e[i].v);
        if(fu != fv)
        {
            // 如果已经缩成了 K 个部落，下一条有效边就是部落间的最短距离
            if(cnt == n-k)
            {
                ans = e[i].w;
                break;
            }
            fa[fu] = fv;
            cnt++;
        }
    }
    cout << fixed << setprecision(2) << ans << endl;
    return;
}
int main()
{
    int T=1;
//  freopen("mul.in","r",stdin);
//  freopen("mul.out","w",stdout);
//  read(T);
    while(T--) solve();
    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度：共有 $N \le 1000$ 棵树，预处理并计算所有点对之间的距离需耗时 $O(N^2)$ 。生成的总边数 tot 约为 $5 \times 10^5$ ，对其排序耗时 $O(N^2 \log N)$ 。Kruskal 并查集的加边操作接近常数，最多遍历 $50$ 万次，耗时也是 $O(N^2)$ 。综合时间复杂度为 $O(N^2 \log N)$ ，运行速度极快。
空间复杂度：这道题的最占空间的依然是完整存储了所有边的 Edge 数组，最大接近 50 万规模。我严格依照习惯规范，将 x, y, fa, e 所有主干数组直接一刀切使用 maxn = 500005 进行开辟，总内存占用在 12MB 左右，极度稳妥并且杜绝了“写死常数”带来的数组越界隐患。空间复杂度 $O(N^2)$ 。

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